Trébuchet & Balistique

[Cruchot]

Saint-Artilleur, venez à mon aide

Sainte Barbe patronne entre autres des artilleurs (pompiers, sapeurs et géologues)

L'idée de Brux a ses mérites. Un argument pouvant aller dans ce sens est que souvent les places fortes sont exigues ou très encombrées. Donc les pavés qui tombent, ont de bonnes chances d'écrabouiller quelque chose voire provoquer un début d'incendie si c'est la forge, un four ou tout autre foyer qui a dégusté. Donc le trébuchet était synonyme de destructions et de mort à subir.

[Zorn]

Mais et le tir tendu alors St-Barbe ?

[Cruchot]

Mais et le tir tendu alors St-Barbe ?

Le tir tendu écrénelait les remparts et ouvrait la voie aux tours/beffrois et échelles en supprimant la protection des défenseurs contre un tas de gravats à piétiner pour les attaquants.

[Zorn]

L'objectif Cruchot je le voyais bien... ma question était : comment les artilleurs distinguent-ils un tir tendu d'un tir en cloche ? Sachant que toute trajectoire non propulsée est de type parabolique... à partir de quel moment la parabole est-elle considérée comme tendue ou en cloche ?
J'anticipe que c'est une question quantitative... ou alors un principe du genre, dès que l'on commence par monter, alors c'est une cloche...

Tout est parti de ta rememarque sur le Lithobolos qui donnerait un tir plus tendu que le trébuchet... en fait je ne vois pas pourquoi il y aurait une différence de nature entre les tirs des deux engins (au plan de la trajectoire). Il me semble que l'on a dû pouvoir faire ce que l'on voulait avec l'un comme avec l'autre.

En ce qui concerne le lithobolos, et son "moteur" à torsion, il me semblait avoir compris que dans nos contrées humides... ça ne marchait pas (à la différence de l'antiquité méditéranéenne)... Jules César l'aurait constaté à ses dépends. Ainsi qu'à Crécy : les Génois et leur arbalètes mouillées...

[buxeria]

En ce qui concerne le lithobolos, et son "moteur" à torsion, il me semblait avoir compris que dans nos contrées humides... ça ne marchait pas (à la différence de l'antiquité méditéranéenne)... Jules César l'aurait constaté à ses dépends. Ainsi qu'à Crécy : les Génois et leur arbalètes mouillées...

J'aime bien ce genre d'explication

[Cruchot]

En ce qui concerne le lithobolos, et son "moteur" à torsion, il me semblait avoir compris que dans nos contrées humides... ça ne marchait pas (à la différence de l'antiquité méditéranéenne)... Jules César l'aurait constaté à ses dépends. Ainsi qu'à Crécy : les Génois et leur arbalètes mouillées...

J'aime bien ce genre d'explication

+1

[Zorn]

Les amis je ne comprends pas bien votre remarque... je ne suis pas clair ? vous vous payez ma tête ? ou quoi ...

[buxeria]

Non, non, je suis très sérieux : une explication de bon sens et qui est sans doute la bonne (et qui en plus n'a pas besoin d'une feuille de calcul de 2000 lignes pour être comprise )

[Loic]

Bonsoir à tous ! Je vous donne quelques nouvelles avant de disparaitre 3 bonnes semaines de la circulation !

Plusieurs points :

J'avais écris aux concepteur de l'étude que j'ai utilisé pour mes modélisations pour essayer d'éclairer celle de mon trébuchet :

Question :
"...Au cours de mes recherches, j'ai découvert votre site et votre article concernant l'étude de la vitesse du projectile et de la portée d'un mangonneau et d'un trebuchet.

Ainsi, j'ai attentivement décortiqué votre étude mais je n'arrive pas à comprendre votre relation de la vitesse du point F dans le cadre du trébuchet. ( Relation 51)

Cela voudrait dire que le vitesse du projectile et la portée de la machine ne dépendent pas de la masse du contre poids ? Alors certes, il y a cette relation entre les sinus des angles théta et alpha (relation 49) ou intervient la masse M du contre poids mais cela me parait suspect ...

J'ai mis sous excel cette relation, ce qui me permet de modifier abondamment les paramètres et j'obtiens une vitesse du point F "finale" ( a l'instant ou le projectile sort de la poche) ridicule comparé a celle tu mangonneau !

Pourriez vous m'éclaircir sur ce point la ?

Pour calculer la vitesse finale, j'ai remplacé le sin(theta) de la relation 49 dans l'expression 51, c'est a dire que la relation 51 ne dépend plus que de alpha et des paramètres géométriques de la structure. ..."

Réponse:

"...cet article est un exercice de style: on ne trouve aucun équivalent sur la modélisation théorique (et simplifiée!) du mangonneau et du trébuchet sur le web. Tout est sorti de mes réflexions donc sujet à caution.

La question de fond est: quelle(s) relations de fermeture existe entre theta et alpha? J'ai dû recourir à deux cas limites d'hypothèses simplificatrices:

- alpha = theta au moment de la libération du projectile

- d(alpha)/dt = d(theta)/dt i.e. égalité des vitesses angulaires aux extrémités des deux branches mobiles, au moment de la libération du projectile.

Ce sont des hypothèses extrémement simplificatrices et sans doute irréalistes, sans doute elles bornent le domaine du "véritable"comportement de F entre ces deux limites.

Méfiance, donc!

Ceci dit je pense que le "bon sens", sujet suspect en physique, est sauvegardé: dans tous les cas la vitesse de jet dépend de la géométrie (L, R, alpha) et de la contremasse M, y compris par le biais de la condition (49): quoi d'étonnant à cela? cette condition est malheureusement contrainte par les hypothèses limites mentionnées.

La résolution complète des systèmes fait appel à la technique du couplage (éventuellement non-linéaire) de systèmes, ce que ne rend pas compte mon article. Lequel souffre d'une déficience de courbes numériques paramétrées et encore plus expérimentales. Mon article est incomplet!

Bien volontiers, je souhaite recevoir vos simulations par excel
Je ne vous cahe pas que vous avez choisi un sujet très difficile!..."

Voili voilou ! Ton hypothèse, Zorn est bien vérifiée, cette étude est plus un pretexte a la physique qu'une étude du trebuchet.


J'ai également pu discuter avec mes professeurs hier apres midi pour faire un bilan de mon projet. Ils n'ont malheureusement pas trouvé de probleme particulier a premiere vue dans l'étude du trébuchet et m'ont invité à reprendre l'étude en simplifiant les calculs ( notamment en négligeant les masses autres que celle du contre poids ).

Vu que la comparaison théorique/pratique est primordiale pour mon projet, je pourrai en cas d'échec de ma modélisation de trebuchet "ne réaliser qu'une simple" comparaison pratique/théorique du mangonneau.
Ou alors je pourrai étudier ta modélisation Zorn pour l'adapter a mon trébuchet.

Je ne vous cache pas que les deux dernieres solutions ne m'enchantent pas du tout. Mais on verra en temps voulu !

Ils ont également souligné l'hypothèse de la vitesse initiale horizontale qui est finalement une hypothèse tres importante.

Je suis assez têtu de nature, ainsi mes deux objectifs vont etre de me retaper tous ces calculs en négligeant un ou deux paramètres et d'essayer de donner un angle initial au lancer du projectile.

Pour ce deuxieme objectif est ce qu'il suffit simplement de rajouter un sin/cos alpha dans l'équation de la trajectoire ? ou est ce que cela pourrait modifier les calculs dynamiques de l'étude ? ...

PS : Mes profs ont trouvé ta modélisation extremement complète et vraiment superbe ! Par curiosité, tu as passé combien de temps pour l'établir ?

Victor of drakar, je suis allé voir dans deux bibliothèques municipales, le bouquin n'y était pas. Je vais essayer pour le moment de résoudre le probleme de ma modélisation et en cas, je veux bien de ton aide selon mes résultats ! Je te dis ca dès que je peux ! Merci ! ! !

Ce dernier point ne concerne pas du tout le trebuchet mais le lithobolos ! Personnellement, je ne connaissais pas du tout cette arme de guerre similaire un peu a une "baliste" mais ces capacités sont vraiment impressionantes ! J'aurai peut etre du faire une comparaison trébuchet/lithobolos !

[Zorn]

-----

La question de fond est: quelle(s) relations de fermeture existe entre theta et alpha? J'ai dû recourir à deux cas limites d'hypothèses simplificatrices:

- alpha = theta au moment de la libération du projectile

- d(alpha)/dt = d(theta)/dt i.e. égalité des vitesses angulaires aux extrémités des deux branches mobiles, au moment de la libération du projectile.

Ce sont des hypothèses extrémement simplificatrices et sans doute irréalistes, sans doute elles bornent le domaine du "véritable"comportement de F entre ces deux limites.

Méfiance, donc!

.....


Voili voilou ! Ton hypothèse, Zorn est bien vérifiée, cette étude est plus un pretexte a la physique qu'une étude du trebuchet.

D'une part mon hypothèse est bien vérifiée (l'auteur voulait illustrer de la mécanique), mais surtout j'avais bien détecté que les 2 hypothèses extrêmement simplificatrices d'égalité des angles et des vitesses angulaires ... l'étaient trop, et était responsable des résultats bizarres. Et cela grâce à mes petites courbes de simulation avec 10 000 lignes Excel

[Zorn]

Réponse:
"...cet article est un exercice de style: on ne trouve aucun équivalent sur la modélisation théorique (et simplifiée!) du mangonneau et du trébuchet sur le web. Tout est sorti de mes réflexions donc sujet à caution.

Il faut chercher un peu sur le net ami
Tu trouveras de très belle étude - comme la tienne ; dont celle que j'ai transmise à Loic, et qui utilise le superbe formalisme Lagrangien.

La question de fond est: quelle(s) relations de fermeture existe entre theta et alpha? J'ai dû recourir à deux cas limites d'hypothèses simplificatrices:

- alpha = theta au moment de la libération du projectile

- d(alpha)/dt = d(theta)/dt i.e. égalité des vitesses angulaires aux extrémités des deux branches mobiles, au moment de la libération du projectile.

Ce sont des hypothèses extrémement simplificatrices et sans doute irréalistes, sans doute elles bornent le domaine du "véritable"comportement de F entre ces deux limites.

Oui c'était tentant (j'ai essayé aussi), mais si sur le plan de l'enseignement de la mécanique, c'est intéressant / formateur sur la démarche, mais en revanche sur le plan de l'étude du trébuchet... ça casse tout !

Il suffit de regarder attentivement mes deux diagrammes pour voir qu'à l'instant du début du vol, les deux angles ne sont pas égaux.

Méfiance, donc!

Ceci dit je pense que le "bon sens", sujet suspect en physique, est sauvegardé: dans tous les cas la vitesse de jet dépend de la géométrie (L, R, alpha) et de la contremasse M, y compris par le biais de la condition (49): quoi d'étonnant à cela? cette condition est malheureusement contrainte par les hypothèses limites mentionnées.

Je ne comprends pas bien ici.
Mais ce qui est certain, c'est que même des hypothèses simplificatrices ne feraient pas disparaitre la masse de contrepoids d'un trébuchet
Je suspecte donc ici une coquille de l'auteur...
=> Un bon exercice pour un taupin Loic, que de trouver l'erreur.

La résolution complète des systèmes fait appel à la technique du couplage (éventuellement non-linéaire) de systèmes, ce que ne rend pas compte mon article. Lequel souffre d'une déficience de courbes numériques paramétrées et encore plus expérimentales. Mon article est incomplet!

Absolument, il y a couplage non linéaire... bonjour le cauchemar !
et comme très souvent quand on essaie de résoudre les problème de la vraie vie en mécanique (et pas seulement les exercices scolaire)... c'est juste pas possible !
C'est un peut frustrant au début... puis on s'y fait !
Les étudiants a qui l'on pose toujours des problèmes "solvables", finissent par penser que tous le sont ! Mais en pratique c'est presque jamais.
Par exemple la vraie vie n'est jamais linéaire !

Heureusement avec les ordinateurs, les bureaux d'études ont résolu le problème depuis un demi-siècle. Ces gens là utilisent des modèles très poussés à coté desquels mes petits calculs constituent de l'enfantillage.
Sur le plan théorique, des études très poussées de math appliquées ont été faites pour discrétiser proprement les équations (comme je le fais), ou plus beau encore : discrtéiser l'espace tridimensionnel... Fondamental dès que l'on veut faire un peu de résistance des matériaux, de mécanique des fluides, ... que l'on veut simuler des explosions nucléaires ou des réacteurs, etc.
Tu verras cela l'année prochaine Loic

L'auteur perçoit bien que l'absence des équations horaires (courbe paramétrée en temps), est une sérieuse limitation. Mais y pas a tortiller : les résoudre analytiquement est impossible... il faut passer à l'approximation numérique

Bien volontiers, je souhaite recevoir vos simulations par excel
Je ne vous cahe pas que vous avez choisi un sujet très difficile!..."

Voili voilou ! Ton hypothèse, Zorn est bien vérifiée, cette étude est plus un pretexte a la physique qu'une étude du trebuchet.

Ce n'est pas un sujet difficile du tout. Les outils pour le résoudre sont parmi les plus basique de la physique de taupe, et les plus intuitifs (bien sûr pour un étudiant en Lettres, c'est du chinois).
Ensuite un gros Excel peut impressionner, mais ce n'est juste qu'un peu d'organisation dans les formules. Et ce qui ce passe dans l'Excel est vraiment simple au plus scientifique : An+1 = An + A'n.dt C'est tout !
En français pour les non scientifiques :
- l'état d'une variable (par exemple l'altitude du boulet) un tout petit peu après l'instant t, et égal à l'état de cette variable à l'instant exact t, plus un tout petit quelque chose.
- ce petit quelque chose est presque égal à l'écart de temps (le un tout petit peu après, ci-dessus), multiplié par la vitesse de variation de la variable en question, en fonction du temps
- il s'avère que les lois de la mécanique permette de déterminer la formule qui donne cette vitesse de variation en fonction du temps
Ensuite, il suffit d'additionner des miettes de variations, et de proche en proche on détermine ainsi l'évolution de la variable en question.

Application : une voiture se déplace à 27 mètre par seconde (100 km/h environ). Elle est devant chez moi à 16h00. Et bien à 16h00mn et 1 seconde, elle sera 27 mètre x 1 seconde = 27 mètre plus loin... bref devant chez le voisin !

Il n'y a rien de plus compliqué dans mon Excel !

J'ai également pu discuter avec mes professeurs hier apres midi pour faire un bilan de mon projet. Ils n'ont malheureusement pas trouvé de probleme particulier a premiere vue dans l'étude du trébuchet et m'ont invité à reprendre l'étude en simplifiant les calculs ( notamment en négligeant les masses autres que celle du contre poids ).

Ce sont des fainéants ! Il eut fallut qu'ils se penchassent sur l'étude pour résoudre le problème du contrepoids qui a disparu !
Bon je fais un peu de provoc là, mais cherche par toi même l'explication. C'est formateur pour tes concours Il est aussi possible qu'un truc nous échappe complètement.

De plus, ils sont câblés pour t'enseigner les fondements de la mécanique... eux aussi... ils ne sont pas intéressés par le trébuchet
Mais je suis d'accord avec eux : simplifie encore pour confiner l'erreur.

Vu que la comparaison théorique/pratique est primordiale pour mon projet, je pourrai en cas d'échec de ma modélisation de trebuchet "ne réaliser qu'une simple" comparaison pratique/théorique du mangonneau.
Ou alors je pourrai étudier ta modélisation Zorn pour l'adapter a mon trébuchet.

Mais bien sûr Loic ; qu'attends tu pour utiliser mon modèle Excel pour simuler ton trébuchet expérimental ? Mesure soigneusement les dimensions de ton trébuchet et la masse des constituants, puis renseigne les cases Excel des paramètres de mon modèle (celle que j'ai publiées quelques post plus haut)... et regarde ce qui se passe ! Puis compare.
Je vais d'ailleurs de ce pas regarder ta vidéo - image par image, pour déterminer la position angulaire du bras et de la fronde au début du vol balistique.

Je ne vous cache pas que les deux dernieres solutions ne m'enchantent pas du tout. Mais on verra en temps voulu !

En fait tu m'as l'air tout abattu Loic. Les choses sont très simples et claires ; j'ai presque envie de te consoler
Ce que tu peux faire et ne pas faire dans le cadre de ton étude est complètement clair.
En gros :
- tu peux écrire les équations des divers engins en appliquant les lois de la mécanique (tes profs seront heureux rien qu'avec ça - car le reste ce n'est pas noble comprends tu ?
- tu peux peut être résoudre les équations horaires (intégrer les équations différentielles) dans le cas d'engins simple : genre mangonaux sans fronde (à vérifier) - mais en aucun cas le trébuchet (n'essaie pas tu vas t'épuiser)
- tu peux en revanche faire comme moi, et avec Excel, résoudre numériquement presque tout ce que tu veux
- tu peux construire des maquettes de plusieurs engins

En fois que tu as fait tout cela, tu paramètres tes modèles numériques pour que cela corresponde à tes maquettes... et tu compares la théorie à l'expérience.

Bien sûr, il va y avoir de gros écarts au début... alors tu vas corriger 2 ou 3 grosses erreurs, puis tu vas avoir encore des écarts significatifs... et là tu vas mettre à l'épreuve ton sens physique, en expliquant "à l'instinct" pourquoi le boulet va moins loin en pratique qu'en théorie.
Tu auras négligé dans ton modèle théorique : les frottements, la résistance de l'air, etc.

Donc tu fais tout cela, et tu présentes un beau tableau en soutenance :
- en lignes les divers engins
- en colonne la portée théorique et pratique

Et tu fais de beau commentaires pour expliquer les écarts...

La tu leur coupe le sifflet et tu as 18/20. Ben oui on va pas mettre 20/20 tout de même, la perfection n'est pas de ce monde, n'est-ce pas ?

Ils ont également souligné l'hypothèse de la vitesse initiale horizontale qui est finalement une hypothèse tres importante.

Je suis assez têtu de nature, ainsi mes deux objectifs vont etre de me retaper tous ces calculs en négligeant un ou deux paramètres et d'essayer de donner un angle initial au lancer du projectile.

Cette histoire de vitesse horizontale initiale, et une préoccupation de théoriciens qui simplifient outrageusement ! Fausse piste. Il faut tenir compte de l'angle au début du vol balistique !

Laisse tomber les belles formules qui résultent de trop grossières approximations. Tu ne retrouveras jamais l'expérience !

Ou alors en soutenance, explique leur que tu as commencé par cela, mais que tu t'es vite rendu compte que tu ne retrouvais pas le résultat théorique avec l'expérience... et donc que armé de ton courage, tu as décidé de résoudre numériquement

Pour ce deuxieme objectif est ce qu'il suffit simplement de rajouter un sin/cos alpha dans l'équation de la trajectoire ? ou est ce que cela pourrait modifier les calculs dynamiques de l'étude ? ...

Ben bien sûr ! Quand la réalité ne colle pas à la théorie, il suffit de rajouter un ou deux cosinus par ci et par là... au petite bonheur !
Non mais ça va pas la tête ?
Il ne faut pas confondre mécanique et gastronomie !

PS : Mes profs ont trouvé ta modélisation extremement complète et vraiment superbe ! Par curiosité, tu as passé combien de temps pour l'établir ?

Tes profs ne connaissent pas Excel !
J'ai passé pas mal de temps l'été 2005 au bord de la mer... j'ai retrouvé mes gribouillis ; je m'y suis repris à 10 fois avant d'avoir les équations au propres, puis sous Excel ce fut plus direct.
Je dirais 10 jours à raisons de 3 heures par jours... Bref 1 semaine à plein temps.

Les gens sérieux ont des outils de math sur ordinateurs qui permettent :
- de manipuler les équations (de sorte que tu ne fais aucune erreur d’inattention)
- de tracer la courbe directos (sans les 10 000 lignes)
Bref même pas drôle

Ce dernier point ne concerne pas du tout le trebuchet mais le lithobolos ! Personnellement, je ne connaissais pas du tout cette arme de guerre similaire un peu a une "baliste" mais ces capacités sont vraiment impressionantes ! J'aurai peut etre du faire une comparaison trébuchet/lithobolos !

Calmos, je ne vois pas pourquoi le Lithobolos serait vraiment impressionnant (Cruchot n'est pas très prompt à m'éclairer d'ailleurs...).
Au feeling, avec l'effet fronde, j'ai la conviction que c'est bien le trébuchet qui est le plus impressionnant ! Y a qu'a voir la vidéo de l'anglish !

[Zorn]

Quelques liens intéressants...
http://www.pbs.org/wgbh/nova/lostempire ... ywave.html
http://www.trebuchet.com/
http://www.algobeautytreb.com/
http://www.real-world-physics-problems. ... lator.html

[Zorn]

Loic, je t'ai trouvé un sujet pour aller plus loin que mon étude de 2005

Mon modèle de trébuchet n'a pas de roue !
Ma manière de résoudre les équations consiste donc à faire l'hypothèse implicite que le trébuchet est extrement et solidement fixé dans le sol. Et donc, que lors du tir, que rien ne bouge...

Bien sur c'est complètement faux (sur ce plan là). Au moyen-âge le trébuchet était juste posé sur le sol (il n'y avait pas de "fondation").

Par conséquent, avec ma modélisation simpliste, le plus probable est qu'au moment du tir, mon trébuchet bascule viollement en avant... provoquant sa desctruction si le contrepoids est très lourd (tonne).
Ou alors, si le trébuchet avait été fixé dans le sol, il est probable que lors du tir, les montants ou les fixations eurent été cassées.


En regardant les gravures du moyen-âge (?), on découvre qu'il y avait des roues.

Ces roues permettent bien sur de déplacer le trébuchet, mais de plus, elles donnent au trébuchet un axe de liberté au moment du tir, ce qui permet de dissiper l'énergie en "aller/retour"... et de ne pas casser des montants qui auraient été fixés dans le sol.


Loic, voici ce que je te propose comme axe d'étude : l'ajout de roues !

J'ai trouvé cet écrit sur l'un des sites indiqué plus haut :
" To nearly everyone's surprise, the wheeled trebuchet shoots about one-third farther than its fixed counterpart. "

Je te propose donc de reprendre le modèle théorique, et d'ajouter un 6ème degré de liberté (les 4 roues peuvent être assimilées à une possibilité de glissement longitudinal du trébuchet sur un axe de liberté).
Ensuite reprends mon chemin:
- écriture de la loi fondamentale de la mécanique
- détermination des 6 équations
- résolution sous Excel

Il te rstera ensuite à vérifier que la portée s'améliore bel et bien de 30%.
Il te faudra également ajouter des roues à ton prototype.

[Loic]

Salut ! Désolé du contre temps, je suis en période de révision et je dois mettre mon projet de coté pour 2,3 semaines.

J'aimerai éviter d'utiliser ton modèle Zorn car tout simplement parceque ce n'est pas mon travail mais le tien !
Je ne le maitrise pas et cette méthode de calcul ne se voit pas en classe préparatoire. Du coup, je vais essayer de persister avec ce modèle simpliste en me refaisant tous les calculs et essayer de comprendre en meme temps la limite de ce modèle ce qui ne peut être que bénéfique pour moi et mon exposé !

En fonction des résultats, j'aviserai. J'avais déja essayé de modifier des valeurs lorsque tu me l'as envoyé mais il y a eu quelques petits problèmes ! Ca partait un peu en ... vrille ! =D

De plus ca serait un peu incohérent de présenter dans un premier temps un modèle du mangonneau avec un tas d'hypothese et ensuite passer a un modèle tout beau tou parfait ! =D

J'avais déjà apercu l'étude que tu as posté en lien en formalisme lagrangien mais là nan plus, ce n'est pas au programme de taupe ! =/ Et c'est pour ca que l'étude que je souhaite utiliser est interessante puisqu'elle est "a mon niveau".

C'est rigolo car j'ai observé le phénomène dont tu parles avec l'apport des roues. Une fois, en réalisant, un essai, toute la structure est parti en avant ( elle s'est complètement renversée) et la balle de tennis est partie se quiller sur un toit. Sur le coup, je suis resté completement bouche bée ! J'aimerai bien installer des roues sur ma maquette pour voir les performances de celle ci avec ! Mais il faudrai en réaliser une bien plus sophistiquée ! Mais a méditer ! Comme je l'ai dit au dessus, modifier ton modèle me parait impossible ! =D Mais en creer un plus raisonnable m'interesse. Quite a le faire en dehors de mon étude !

Pour revenir sur le lithoboloss, quelle est la taille de cette machine ? J'ai trouvé une photo sur google d'une reconstitution de cette machine absolument énorme ! Digne d'un trébuchet ! Sur le coup je l'imaginais beaucoup plus "modeste" avec un angle de tir beaucoup plus restreints que le trebuchet . Mais quand est t-il ?

http://www.google.fr/imgres?imgurl=http ... CDoQ9QEwBQ

Bonne journée a vous ! =D

[Zorn]

OK, je comprends... Je suis d'accord, il faut que tu utilise des outils "plus ou moins au programme". Donc, oui, laisse tomber le formalisme Lagrangien - c'est une gourmandise pour plus tard

En revanche, la méthode d'intégration numérique est vraiment très simple.
Il existe des méthodes plus sophistiquées (du genre Runge Katta), mais ce n'est pas nécessaire ici. Pour ma part, j'ai utilisé une technique extremement simple. Je vais la détailler un peu ci-dessous. Je pense que tu peux l'utiliser également.

Enfin, je te propose l'approche suivante pour ton étude.

1) Tu prends un engin dont le modèle est ultra simple (genre le Mangoneau sans Fronde), et du coup tu peux pousser l'étude théorique à fond. Avec un peu de chance (je ne sais pas, je n'ai pas essayé), tu pourrais intégrer les équa-diffs, et obtenir les lois horaires du mouvement. Pour ce cas, supprime tous les trucs qui compliquent ; genre la résistance de l'air. Car cela rendrait les équations non intégrables.
Ensuite, tu construis un modèle réel, et tu compares la théorie à la pratique.

2) Ensuite, tu prends un beau modèle, le Trébuchet, et tu recommences... tu écris les équations différentielles à partir des lois de la mécanique, en utilisant seulement ce qui est au programme de taupe. Tes profs seront admiratifs, car c'est déjà un bel effort.
Ensuite tu prends Excel... et tu fais comme moi. C'est à dire que tu résous les équa-diffs numériquement (sans intégration car ce n'est pas faisable).
Puis tu construis une modèle (tu l'as déjà fait) et tu compares la théorie à la pratique.

Qu'en penses-tu ?



Résolution des équations différentielles numériquement par méthode simpliste (celle de mon Excel).

Admettons qu'après avoir posé les lois de la mécanique, tu réorganises les équations différentielles pour obtenir une forme de type :

d² X / dt² = Fonction 1 (X, Y, t)
d² Y / dt² = Fonction 2 (X, Y, t)

Ensuite tu organises sur un seul onglet Excel, de la manière suivante :

- Des informations générales, de départ ou de synthèse en haut de l'onglet.

- Et sur le reste de l'onglet, chaque ligne va correspondre à toutes les informations du système, à un instant donné.
Chaque colonne correspond à une variable : un angle du Trébuchet, sa vitesse angulaire, une accélération angulaire, la position en altitude du boulet, etc.
Chaque ligne correspond à un "pas" temporel. Par exemple, 1 ligne toutes les milisecondes (tu peux aussi prendre 1 ligne pour 10 ms).

Donc dans notre exemple, tu as 1 colonne pour chacune des grandeurs suivantes :
- d² X / dt²
- d² Y / dt²
- Fonction 1 (X, Y, t)
- Fonction 2 (X, Y, t)
- d X / dt
- d Y / dt
- X
- Y
- t

Puis tu fais l'hypothèse que tu auras des valeurs numériques proches de la réalités si tu utilise la formule suivante :

d X / dt à l'instant (t)
égale
d X / dt à l'instant (t - 1) miliseconde
+
d² X / dt² à l'instant (t - 1), multiplié par 1 miliseconde.


Or, grâce à ton travail de Mécanicien, tu as déterminé la Fonction 1, telle que :

d² X / dt² = Fonction 1 (X, Y, t)


Alors :

d X / dt à l'instant (t)
égale
d X / dt à l'instant (t - 1) miliseconde
+
Fonction 1 (X, Y, t) à l'instant (t-1), multiplié par 1 miliseconde.

Soit

d X / dt à l'instant (t)
égale
d X / dt à l'instant (t - 1) miliseconde
+
Fonction 1 ( X(t-1), Y(t-1), t-1 ) à l'instant (t-1), multiplié par 1 miliseconde.



Donc dans Excel:

Tu mets dans la case à l'intersection de la ligne (t) et de la colonne (d X / dt)
la formule suivante :
le contenu de la case à l'intersection de la ligne (t-1) et de la colonne (d X / dt)
plus le contenu de la case à l'intersection de la ligne (t-1) et de la colonne (Fonction 1 (X, Y, t)) multiplié par 0,001 (1 ms ; ou 0,01 si tu as pris un pas de 10 ms).

Tu mets dans la case à l'intersection de la ligne (t) et de la colonne (Fonction 1 (X, Y, t)), une formule qui correspond à tes équa-diffs réorganisées (cf ci-dessus), et tu "pioches" les valeurs de (X), (Y) et (t), dans les colonnes ad hoc d'Excel.

Tu disposes donc ainsi, dans la colonne (d X / dt) de toute les valeurs numériques que prend la variable (d X / dt), aux différents instants du vol, de 1 miliseconde en 1 miliseconde (tu as 10 000 lignes si tu veux 10 secondes avec un pas de 1 miliseconde ; tu peux aussi prendre des pas de 10 milisecondes, il te suffira de 1 000 lignes).

Ensuite, tu fais de même, entre (X) et (d X / dt) ce que tu viens de faire entre (d X / dt) et (d² X / dt²), respectivement.

Ensuite tu fais un copier de ta ligne avec formules, et un coler sur les 9 999 lignes suivantes.

Il te reste à dire merci à Excel pour calculer toutes les valeurs de chaque ligne (t) à partir de toutes les valeurs de la ligne précédente, correspondant à l'instant (t-1)

Puis tu peux générer en un clin d'oeil de belles courbes de vol... Merci Excel.

Tout cela est un peu long à expliquer, mais au plan conceptuel c'est tout simple. Tu as "le droit" d'utiliser cela à mon sens.

Si tu demandes à tes profs à l'avance ils te diront peut être "non il faut rester dans le cadre du programme", mais si tu leur montres le résultat... que veux-tu qu'ils te disent ? En plus tu pourras montrer qu'avec le Mangoneau simple sans fronde, tu auras su mener au bout l'étude théorique !